\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\setlength{\parindent}{0.0in}
\setlength{\parskip}{0.1in}
\begin{document}

\section*{Kapesní definítor}

\subsection*{Polynomy, svazy}

\textbf{absorbční zákony} - $\forall a, b \in A : a \wedge (a \vee b) = a, a \vee (a \wedge b) = a$

\textbf{asociativita} - vlastnost operace, operace je asociativní, pokud platí: $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$

\textbf{algebraicky definovaný polosvaz} - grupa $(A, \circ)$, kde $\circ$ je asociativní, komutativní a idempotentní

\textbf{algebraicky definovaný svaz} - $(A, \wedge, \vee)$, kde $\wedge$ (průsek) a $\vee$ (spojení) jsou asociativní, komutativní a idempotentní ($(A, \wedge)$ a $(A, \vee)$ jsou algebraicky definované polosvazy) a jsou vázany absorbčními zákony

\textbf{algebraicky uzavřené těleso} - těleso, ve kterém jsou ireducibilní polynomy právě lineární polynomy\\
Pozn: Konečné těleso nemůže být algebraické

\textbf{antiřetězec} - podmnožina svazu ve které jsou prvky po 2 vzájemně nesrovnatelné

\textbf{booleova algebra} - $(B, \wedge, \vee, 0, 1, ')$, kde $(B, \wedge, \vee)$ je distributivní svaz, $\forall a \in B : 0 \wedge a = 0, 1 \wedge a = a, a \wedge a' = 0, a \vee a' = 1$

\textbf{booleův svaz} - omezený komplementární distributivní svaz

\textbf{dědičná množina} - $H \subseteq A, \forall h \in H, a \leq h \Rightarrow a \in H$

\textbf{distributivní nerovnosti} - $a \wedge (b \vee c) \geq (a \wedge b) \vee (a \wedge c)\\ a \vee (b \wedge c) \leq (a \vee b) \wedge (a \vee c)$

\textbf{distributivní svaz} - svaz $\mathcal{L} = (L, \wedge, \vee)$ je distributivní, platí-li $\forall a, b, c \in L : a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)$\\
Pozn: Libovolný distributivní svaz je modulární

\textbf{dolní závora} - $A, X$ množiny, $X \subseteq A$, $a$ je dolní závora $X$, je-li $\forall x \in X: x \geq a$

\textbf{duální uspořádání} - $\geq$ je duální k $\leq$ a je definováno následovně: $\geq = \{(a, b) | (b, a) \in \leq\}$

\textbf{generátory svazu} - uspořádaná množina prvků. Svaz je z nich vygenerován iterativně doplňováním všech suprém a infím mezi prvky, které byli doposud vygenerovány nebo patří do množiny generátorů svazu.

\textbf{homomorfismus} - zobrazení $f$ mezi 2 pologrupami, pro které platí: $\forall a, b \in A: f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b)$

\textbf{horní závora} - $A, X$ množiny, $X \subseteq A$, $a$ je horní závora $X$, je-li $\forall x \in X: x \leq a$

\textbf{ideál} - podmnožina okruhu, která má jisté "dobré" vlastnosti (záleží na kontextu)

\textbf{idempotence} - vlastnost (binární) operace, operace je idempotentní, pokud platí $\forall a: a \cdot a = a$

\textbf{infímum} - $a \in A$ je infímum množiny $X \subseteq A$, je-li $a$ největší dolní závorou množiny $X$

\textbf{izomorfismus} - bijektivní homomorfismus / bijektivní vnoření / "přejmenování" prvků

\textbf{izotonní zobrazení} - $\alpha: A \rightarrow B$, $\forall a, a' \in A : a \leq a' \Rightarrow \alpha(a) \leq \alpha(a')$

\textbf{kokonečná množina} - komplement konečné množiny (obvykle myšleno vzhledem k nekonečné množině)

\textbf{kompaktní množina} - množina $A$ bodů topologického prostoru, pro kterou platí, že z každého jejího pokrytí otevřenými množinami lze vybrat konečné pokrytí. Kompaktní množina formalizuje intuitivní představu konečného objemu.

\textbf{komplement prvku} - Nechť $a \in L$ ve svazu $\mathcal{L} = (L, \wedge, \vee)$. $b \in L$ je komplementem $a$, je-li $a \wedge b = 0, a \vee b = 1$

\textbf{komplementární svaz} - svaz ve kterém má každý prvek komplement

\textbf{komutativita} - vlastnost operace, operace je komutativní, pokud platí $a \cdot b = b \cdot a$

\textbf{konvexní množina} - množina $A$, pro kterou platí, že pro každé dva prvky z $A$ je v $A$ i každý prvek mezi nimi. Zadatelné taky tímto způsobem: $\{\lambda a + (1 - \lambda)b | 0 \leq \lambda \leq 1\} \subseteq A$ (za předpokladu, že sčítání a násobení má smysl - ideálne se chová jako v metrickém prostoru).

\textbf{matematický vtip} - vtip, kterému obvykle (v závislosti na složitosti terminologie nebo použitých principů) dokážou pochopit jenom matematici a matematicky vzdělaní jedinci; například: Kolik matematiků je zapotřebí pro výměnu žárovky? Žádný, je to necháno čtenáři ke cvičení.

\textbf{mediální nerovnost} - $(a \wedge b) \vee (b \wedge c) \vee (c \wedge a) \leq (a \vee b) \wedge (b \vee c) \wedge (c \vee a)$

\textbf{modulární nerovnost} - $a \leq c \Rightarrow a \vee (b \wedge c) \leq (a \vee b) \wedge c$

\textbf{modulární svaz} - svaz $\mathcal{L} = (L, \wedge, \vee)$ je modulární, platí-li $\forall a, b, c \in L : a \leq c \Rightarrow a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge c$

\textbf{omezený svaz} - svaz s největším a nejmenším prvkem (označujeme 1 a 0)

\textbf{podílové těleso} - zobecnění konceptu, kterým se získává z okruhu celých čísel okruh racionálních čísel. Prvky mají podobu $\frac{a}{b}$, kde $a, b \in A, b \neq 0$

\textbf{podsvaz} - $\mathcal{K} = (K, \wedge, \vee)$ je podsvaz $\mathcal{L} = (L, \wedge, \vee)$, je-li $K \subseteq L, \forall a, b \in K : a \wedge b, a \vee b \in K$. Pokrývání se ale nemusí zachovávat.

\textbf{polosvaz} - uspořádaná množina, kde libovolné 2 prvky mají infimum, nebo kde libovolné 2 prvky mají suprémum (je buď průsekovým, nebo spojovým polosvazem).

\textbf{pokrývání} - $a$ je pokryto $b$ ($b$ pokrývá $a$) $\Leftrightarrow$ $a < b$ a $\forall c: a \leq c < b \Rightarrow a = c$

\textbf{průsekový polosvaz} - uspořádaná množina, kde libovolné 2 prkvy mají infimum

\textbf{relativně komplementární svaz} - svaz, ve kterém v libovolné množině $[a, b] = \{x \in L | a \leq x \leq b\}$ má libovolný prvek komplement

\textbf{řetězec} - podmnožina množiny svazu, která je vzhledem k danému uspořádaní lineárně uspořádaná (Laicky: nudle prvků kde jsou všechny navzájem srovnatelné).

\textbf{spojově ireducibilní prvek} - $a \in L$, pro který platí, že $\forall b, c \in L : a = b \vee c \Rightarrow a = b$ nebo $a = c$ (Překlad: aby $a$ bylo možné získat jako suprémum dvou prvků, je nutné jako alespoň jeden prvek vzít samotné $a$). Množina všech spojově ireducibilních prvků s výjimkou nejmenšího prvku se označuje $J(\mathcal{L})$.

\textbf{spojový polosvaz} - uspořádaná množina, kde libovolné 2 prvky mají suprémum

\textbf{suprémum} - $a \in A$ je suprémum množiny $X \subseteq A$, je-li $a$ nejmenší horní závorou množiny $X$

\textbf{svaz} - uspořádaná množina, která je spojovým i průsekovým polosvazem zároveň.

\textbf{uspořádaná množina} - dvojice $(A, \leq)$, kde $A$ je množina a $\leq$ je uspořádání na $A$

\textbf{uspořádání} - reflexivní, antisymetrická a tranzitivní relace

\textbf{úplný svaz} - svaz, ve kterém má libovolná podmnožina (včetně nekonečné a prázdné) infímum i suprémum

\textbf{vnoření} - zobrazení $\alpha$, pro které platí $\forall a, a' \in A : a \leq a' \Leftrightarrow \alpha(a) \leq(a')$. Vnoření je injektivní.

\subsection*{Univerzální algebra}

Nechť $\Sigma$ je množina indexů, $A$ (nosná) množina, $\mathcal{A}$ je $\tau$-algebra

\textbf{algebra} - $\mathcal{A} = (A, F)$; $A$ množina, $F$ množina operací nad $A$

\textbf{algebra typu $\tau$ ($\tau$-algebra)} - uspořádaná dvojice $\mathcal{A} = A, (f_{\sigma}^{\mathcal{A}})_{\sigma \in \Sigma}$, $f_{\sigma}^{\mathcal{A}}$ je $n_{\sigma}$-ární operace pro každé $\sigma \in \Sigma$

\textbf{arita} - funkce $F \rightarrow \mathbb{N}_0$ určující počet parametrů dané operace. Pro $\alpha : A^n \rightarrow A$ platí arita $\alpha \mapsto n$.

\textbf{axiom výběru} - Pro každý neprázdný systém neprázdných množin existuje funkce, která z každé množiny tohoto systému vybíra právě jeden prvek (systém a množiny můžou být i nekonečné).

\textbf{faktorová algebra} - algebry $\mathcal{A}$ podle kongruence $\rho:
\mathcal{A}/\rho = (A/\rho, (f_{\sigma}^{\mathcal{A}/\rho})_{\sigma \in \Sigma})$,
kde $f_{\sigma}^{\mathcal{A}/\rho}([a_1 ]_{\rho}, \ldots ,[a_{n_{\sigma}} ]_{\rho}) =
\left [ f_{\sigma}^{\mathcal{A}} (a_1,\ldots , a_{n_{\sigma}} )\right ]_{\rho}$

\textbf{identita} - (axiom v matematické logice) obmedzující pravidlo určující určitou platnou vlastnost v daném kontextu, například $x = x^2$. V matematické logice zadává množina identit (axiomů) teorii.

\textbf{jazyk} - dvojice $((n_{\sigma})_{\sigma \in \Sigma}, (f_{\sigma})_{\sigma \in \Sigma})$, kde $(n_{\sigma})_{\sigma \in \Sigma}$ je typ a $(f_{\sigma})_{\sigma \in \Sigma}$ je systém operačních symbolů.

\textbf{$\mathcal{J}$-triviální konečný monoid} - monoid, který splňuje identity $x^{\omega + 1} = x^\omega, (xy)^\omega = (yx)^\omega$

\textbf{ker $\alpha$} - $\{(a, a') \in A \times A | \alpha(a) = \alpha(a')\}$

\textbf{kongruence $\mathcal{A}$} - relace $\rho$ na množině $A$, která pro
každé $\sigma \in \Sigma, a_1, b_1, \ldots, a_{n_{\sigma}}, b_{n_{\sigma}} \in A$
splňuje $a_1 \rho b_1, \ldots , a_{n_{\sigma}} \rho b_{n_{\sigma}}
\Rightarrow f_{\sigma}^{\mathcal{A}}(a_1, \ldots, a_{n_{\sigma}})
\rho f_{\sigma}^{\mathcal{A}}(b_1, \ldots, b_{n_{\sigma}})$. (Překlad: Výsledek
operace na původních operandech je ekvivalentní podle $\rho$ s výsledkem
operace provedené na ekvivalentních operandech)

\textbf{lokálně konečná varieta} - varieta, ve které platí, že volná algebra nad konečnou množinou je konečná.

\textbf{$n$-ární operace na A} - zobrazení $A^n \rightarrow A$. $A^0 = \{ \emptyset \}$, nulární operace = výběr prvku.

\textbf{operátor variet $\mathcal{H}$} - $\mathcal{H} \mathcal{V}$ je třída všech homomorfních obrazů algeber z $\mathcal{V}$, kde $\mathcal{V}$ je třída $\tau$-algeber.

\textbf{operátor variet $\mathcal{I}$} - $\mathcal{I} \mathcal{V}$ je třída všech algeber izomorfních algebrám z $\mathcal{V}$, kde $\mathcal{V}$ je třída $\tau$-algeber.

\textbf{operátor variet $\mathcal{P}$} - $\mathcal{P} \mathcal{V}$ je třída všech součinů systémů (včetně prázdného) algeber z $\mathcal{V}$, kde $\mathcal{V}$ je třída $\tau$-algeber.

\textbf{operátor variet $\mathcal{S}$} - $\mathcal{S} \mathcal{V}$ je třída všech podalgeber algeber z $\mathcal{V}$, kde $\mathcal{V}$ je třída $\tau$-algeber.

\textbf{podalgebra} - $\mathcal{B} = (B, F)$ je podalgebra algebry
$\mathcal{A} = (A, F)$, pokud $B \subseteq A$ a
$\forall f \in F : n = arita f, \forall b_i
\in B, f(b_i)_{i \in \{0, ..., n - 1\}} \in B$

\textbf{typ} - systém (n-tice) $(n_{\sigma})_{\sigma \in \Sigma}$ nezáporných celých čísel

\textbf{term} - slovo jazyka, tvořené obvykle pomocí konstant, proměnných a validní aplikací operací na ně, přičemž cokoliv, co není možné induktivně získat tímto postupem, se za term nepovažuje.

$\rightarrow$ \textbf{n-ární term} - $x_1, ..., x_n$, $f(x_1), ..., f(x_n), ..., f^{n + 1}(p) = f(f^n(p))$

\textbf{varieta} - řešení systému identit. Reprezentováno často jako množina algeber ve kterých platí všechny indentity zadaného systému. Někdy označováno jako třída algeber.

\textbf{volná algebra} - pro dané $\mathcal{V}, M$. $\mathcal{V}$ je varieta, $M$ je množina. Hledáme nejobecnější algebru $\mathcal{F} \in \mathcal{V}$ a zobrazení $\iota$ z množiny $M$. Nosná množina algebry $\mathcal{F}$ je $F$ a platí, že $<\iota(M)> = F$.

\end{document}

